③累乗根

累乗根って何？」という高校生の皆さんへ。東大卒講師歴20年の管理人が分かりやすく説明します。
累乗根の前に、「指数法則(復習)」が出来るようにしておきましょう。

累乗根の意味

「aのn乗根」のうち、正の実数の方を「$\sqrt[n]{a}$」、負の実数の方を「-$\sqrt[n]{a}$」と書く

例

●2乗すると9になる数=「9の2乗根」

=3と-3(2つの実数解)　実数解のプラスの方を「$\sqrt[2]{9}$($\sqrt{9}$)」,-実数解のマイナスの方を「-$\sqrt[2]{9}$(-$\sqrt{9}$)」と表す

●3乗すると27になる数=「27の3乗根」
=実数解一個(3)と虚数解二個。実数解を「$\sqrt[3]{27}$」と表す

$\sqrt[4]{81}$→4乗すると81になる数=「81の4乗根」
=実数解二個(3,-3)と虚数解二個。実数解のうちプラスの方を「$\sqrt[4]{81}$」マイナスの方を「-$\sqrt[4]{81}$」と書く

 

このように「aのn乗根」はnが奇数か偶数かで実数解の個数が異なる。

◆nが奇数の場合→aのn乗根の実数解は1つだけ存在する。それを「$\sqrt[n]{a}$」で表す

◆nが偶数の場合→aが正か負かで分かれる
◇aが正の場合→aのn乗根の実数解は2つ存在する。プラスの方を「$\sqrt[n]{a}$」マイナスの方を「-$\sqrt[n]{a}$」で表す

◇aが負の場合→aのn乗根の実数解は無い。

aのn乗根の実数解のまとめ

n＼a	aが正	aが負
nが奇数	実数解は$\sqrt[n]{a}$の1つだけ
nが偶数	実数解は$\sqrt[n]{a}$と-$\sqrt[n]{a}$の2つ。	実数解無し

ルートの消し方の基本 (n乗するとルートは消える)

(手順)
まずルートの中を素因数分解して、nと同じ累乗が作れないかを見ること。

覚えておくべき数

●$2^1$=2 ●$2^2$=4 ●$2^3$=8  ●$2^4$=16 ●$2^5$=32

●$3^1$=3 ●$3^2$=9 ●$3^3$=27  ●$3^4$=81

●$5^1$=5 ●$4^2$=25 ●$3^3$=125

 

公式チェック

[su_spoiler title=”n乗根のルートの消し方” style=”fancy” icon=”chevron-circle” class=”std no-trn green”]

n乗根「$\sqrt[n]{A}$」のルートの中のAを$a^n$にして$\sqrt[n]{a^n}$=aと直す

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例題1

$\sqrt[3]{125}$=?

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$\sqrt[3]{125}$=$\sqrt[3]{5^3}$=5[/su_spoiler]

例題2

$\sqrt[3]{343}$=?

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$\sqrt[3]{343}$=$\sqrt[3]{7^3}$=7[/su_spoiler]

例題3

$\sqrt[3]{216}$=?

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$\sqrt[3]{216}$=$\sqrt[3]{2^3×3^3}$=$\sqrt[3]{6^3}$=6[/su_spoiler]

例題4

$\sqrt[3]{-8}$=

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$\sqrt[3]{-8}$=$-\sqrt[3]{8}$=$-\sqrt[3]{2^3}$=-2[/su_spoiler]

ルートの中にマイナスがあるのは(まだ)許されないので注意

累乗根の計算規則

掛け算

$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$=$\sqrt[n]{ab}$

例題1

$\sqrt[4]{27}\sqrt[4]{3}$=
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$\sqrt[4]{27}\sqrt[4]{3}$=$\sqrt[4]{3^3}\sqrt[4]{3^1}$=$\sqrt[4]{3^3×3^1}$=$\sqrt[4]{3^4}$=3[/su_spoiler]

例題2

$\sqrt[3]{12}\sqrt[3]{18}$=
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$\sqrt[3]{12}\sqrt[3]{18}$=$\sqrt[3]{2^2×3^1}\sqrt[3]{2^1×3^2}$=$\sqrt[3]{2^2×3^1×2^1×3^2}$=$\sqrt[3]{2^3×3^3}$=$\sqrt[3]{6^3}$=6[/su_spoiler]

例題3

$\sqrt[5]{3200000}$=
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0が多い場合は、10の階乗とのかけ算に直す

$\sqrt[5]{3200000}$=$\sqrt[5]{32×100000}$=$\sqrt[5]{32}$×$\sqrt[5]{100000}$=$\sqrt[5]{2^5}$×$\sqrt[5]{10^5}$=2×10=20[/su_spoiler]

例題4

$\sqrt[3]{0.027}$=
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小数点の場合は、0.1の階乗とのかけ算に直す

$\sqrt[3]{0.027}$=$\sqrt[3]{27×0.001}$=$\sqrt[3]{27}$×$\sqrt[3]{0.001}$=$\sqrt[3]{3^3}$×$\sqrt[3]{0.1^3}$=3×0.1=0.3[/su_spoiler]

例題5

$\sqrt[5]{0.00032}$=
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$\sqrt[5]{0.00032}$=$\sqrt[5]{32×0.00001}$=$\sqrt[5]{32}$×$\sqrt[5]{0.00001}$=$\sqrt[5]{2^5}$×$\sqrt[5]{0.1^5}$=2×0.1=0.2[/su_spoiler]

 

割り算

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$=$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

例題1

$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$=
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$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$=$\frac{\sqrt[3]{1^3}}{\sqrt[3]{2^3}}$=$\frac{1}{2}$

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例題2

$\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{9}}$=
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$\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{9}}$=$\sqrt[3]{\frac{243}{9}}$=$\sqrt[3]{27}$=$\sqrt[3]{3^3}$=3

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累乗

$(\sqrt[n]{a})^m$=$(\sqrt[n]{a^m})$

例題1

$(\sqrt[4]{16})^2$=
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$(\sqrt[4]{16})^2$=$(\sqrt[4]{2^4})^2$=$\sqrt[4]{(2^4)^2}$=$\sqrt[4]{2^8}$==$\sqrt[4]{(2^2)^4}$=$2^2$=4

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例題2

$(\sqrt[3]{10})^2$=
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$(\sqrt[3]{10})^2$=$\sqrt[3]{(10)^2}$=$\sqrt[3]{100}$

ルートの中が3乗に出来ないので、ルートは外せない

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二重累乗根

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$=$\sqrt[mn]{a}$

例題1

$\sqrt[2]{\sqrt[3]{64}}$=

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$\sqrt[2]{\sqrt[3]{64}}$=$\sqrt[2]{\sqrt[3]{2^6}}$=$\sqrt[2×3]{2^6}$=$\sqrt[6]{2^6}$=2[/su_spoiler]

例題2

$\sqrt[6]{27}$=

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27を素因数分解してもN乗(6乗)が作れないので、ルートの方を変える、と考える

$\sqrt[6]{27}$=$\sqrt[6]{3^3}$=$\sqrt[2×3]{3^3}$=$\sqrt[2]{\sqrt[3]{3^3}}$=$\sqrt[2]{3}$=$\sqrt{3}$[/su_spoiler]